Dreiecke: Arten, Seiten und Winkel, Konstruktion und Kongruenz — 11–13
Ordne Dreiecke nach Seiten und Winkeln ein, verbinde Seiten mit Winkeln und wisse, wann sich ein Dreieck konstruieren lässt und wann zwei kongruent sind.
Dreiecke nach Seiten und nach Winkeln einordnen
Nach den Seiten: gleichseitig (drei gleich lange Seiten), gleichschenklig (mindestens zwei gleich lange Seiten) und ungleichseitig (drei verschiedene Seiten). Nach den Winkeln: spitzwinklig (drei spitze Winkel), rechtwinklig (ein rechter Winkel) und stumpfwinklig (ein stumpfer Winkel). Jedes gleichseitige Dreieck ist auch gleichschenklig, aber nicht jedes gleichschenklige ist gleichseitig. Und Seiten und Winkel hängen zusammen: Gleich langen Seiten liegen gleich große Winkel gegenüber, und der längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber.
Warum Seiten und Winkel zusammengehören
Stell dir zwei Stäbe vor, die an einer Ecke mit einem Nagel verbunden sind. Je weiter du den Winkel zwischen ihnen öffnest, desto weiter entfernen sich die Enden, also desto länger ist die Seite, die das Dreieck schließt. Darum liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüber. Sind die beiden Stäbe gleich lang, ist das Dreieck symmetrisch, und die Winkel gegenüber den gleichen Seiten sind gleich. Aufgabe: In einem Dreieck mit den Seiten 6 cm, 6 cm und 9 cm sind die Winkel gegenüber den 6-cm-Seiten gleich, und der größte Winkel liegt der 9-cm-Seite gegenüber.
Ein Dreieck mit Lineal und Zirkel konstruieren
Konstruiere ein Dreieck mit den Seiten 4 cm, 5 cm und 7 cm. Zeichne die 7-cm-Seite [AB]. Stich den Zirkel in A ein, stelle ihn auf 5 cm und zeichne einen Bogen. Stich in B ein, stelle 4 cm ein und zeichne einen zweiten Bogen. C liegt dort, wo sich die Bögen schneiden. Verbinde A mit C und B mit C. Wer diese Schritte befolgt, erhält ein Dreieck, das genau auf deines passt: Die Dreiecke sind kongruent (Kriterium SSS, drei Seiten). Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) oder eine Seite und die beiden anliegenden Winkel (WSW) reichen ebenfalls.
Die Falle: Nicht jede Dreierkombination ergibt ein Dreieck
Mit 2 cm, 3 cm und 6 cm gibt es kein Dreieck: Die Bögen von 2 cm und 3 cm, von den Enden der 6-cm-Seite aus gezeichnet, erreichen sich nie (2 + 3 = 5, weniger als 6). Mit 3, 4 und 7 berühren sich die Bögen nur auf der Seite selbst: Es entsteht eine flache Linie, kein Dreieck. Regel: Die längste Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen. Und drei Winkel reichen auch nicht: Es gibt kleine und große Dreiecke mit denselben drei Winkeln.
Wo du das außerhalb der Schule siehst
Dreiecke verformen sich nicht. Ein Regalrahmen aus vier Stäben kippt zur Seite, aber ein einziger Stab in der Diagonale, der zwei Dreiecke bildet, macht ihn fest. Deshalb siehst du Dreiecke in Brücken, Dachstühlen und Kränen. Drei gegebene Seiten erlauben nur eine Form des Dreiecks, und das ist der Grund für das Kriterium SSS.
Weiter erkunden
Andere Sprachen
MyLeoNes™ wird geladen…