Kommunizieren, darstellen und Mathematik mit der Welt… — 11–13
Dieselbe Idee mit Worten, Diagrammen, Zahlen und Symbolen ausdrücken, das eigene Denken erklären, Themen verknüpfen und Mathematik als Modell für reale Situationen nutzen.
Eine Idee, viele Arten, sie auszudrücken
Dieselbe Idee lässt sich mit Worten, einem Diagramm, einer Tabelle oder Symbolen zeigen. „Drei Viertel von 12“ ist ein Satz; es sind auch 12 Kästchen in 4 Gruppen zu je 3, davon 3 Gruppen gefärbt; es ist 12 ÷ 4 × 3; es ist 0,75 × 12. Diese Darstellungen zu lesen und ineinander zu übersetzen, lässt dich verstehen. Und auch, dein Denken mit eigenen Worten zu erklären, anderen zuzuhören und „Warum?“ zu fragen – so findet man Fehler.
Warum Symbole: kürzer und genau
„Das Doppelte von n plus 3“ kann zweierlei bedeuten. Für n = 5 entweder 2 × 5 + 3 = 13 oder 2 × (5 + 3) = 16. In Worten ist der Satz lang und mehrdeutig; in Symbolen, 2 × n + 3 oder 2 × (n + 3), irrt sich niemand. Die Symbolsprache ist kürzer, genau und für alle gleich. Aber Symbole brauchen Worte und Diagramme, um Sinn zu haben, und Worte brauchen Symbole, um genau zu sein: Deshalb wechselt man ständig zwischen ihnen.
Ein Fall: 3/4 von 12 in fünf Darstellungen
Wie viel sind drei Viertel von 12? Worte: 12 in 4 gleiche Teile teilen und 3 davon nehmen. Diagramm: 12 Kästchen in 4 Gruppen zu je 3; färbt man 3 Gruppen, sind es 9 Kästchen. Symbole: 12 ÷ 4 = 3 und 3 × 3 = 9. Dezimalzahl: 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75 und 0,75 × 12 = 9. Prozent: 0,75 = 75 % und 75 % von 12 = 9. Fünf Darstellungen, dieselbe 9, und Themen verknüpfen sich: Bruch, Dezimalzahl und Prozent sind dieselbe Zahl, und das Diagramm zeigt, warum.
Eine richtige Antwort kann eine falsche Idee verbergen
Ana und Rui sagen beide, 3/4 von 12 sei 9. Ana rechnete 12 ÷ 4 × 3; Rui rechnete 12 − 3. Die Antwort allein verbirgt den Unterschied. Beim Erklären zeigt er sich: Bei 3/4 von 20 erhält Ana 20 ÷ 4 × 3 = 15 und Rui 20 − 3 = 17. Ruis Weg stimmte nur bei 12, weil 1/4 von 12 zufällig 3 ist. Zu sagen, wie du gedacht hast, anderen zuzuhören und „Und wenn sich die Zahlen ändern?“ zu fragen, bringt Fehler ans Licht, die die Antwort verbarg.
Wo man es sieht: ein Modell einer Zugfahrt
Ein Zug fährt mit konstant 80 km/h. Tabelle: 1 h ergibt 80 km, 2 h ergeben 160, 3 h ergeben 240, 4 h ergeben 320. Modell: Strecke = 80 × Stunden. Vorhersage: 5 h ergeben 400 km. Es ist ein Modell, denn ein echter Zug hält und bremst, aber es sagt voraus und hilft beim Planen. Mathematik steckt auch in den Mustern einer Hausfassade oder einer Rosette und in Berufen wie Fahrpläne planen oder bauen: Sie hilft, das Bestehende zu ersinnen und zu schaffen.
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