Systèmes d’équations linéaires — Mathématiques, 14–17 ans
Comment deux conditions peuvent correspondre à un couple de valeurs, et comment les graphiques et l’algèbre trouvent ce point.
Deux conditions, une réponse
Un système est un ensemble d’équations qui doivent être vraies en même temps. Sa solution est la valeur, ou le couple de valeurs, qui vérifie toutes les équations. Sur un graphique, deux droites se rencontrent généralement en un point ; ce point donne les valeurs communes de x et y.
Pourquoi combiner des équations ?
De nombreux problèmes réels contiennent deux quantités inconnues mais donnent deux indices : deux types de billets, deux prix ou deux mélanges. Une seule équation laisse beaucoup de possibilités. Combiner les deux indices élimine les possibilités fausses et trouve les valeurs compatibles avec toute la situation.
Billets pour un concert
Un concert vend 10 billets pour 86 €. Un billet adulte coûte 10 € et un billet étudiant 6 €. Soient a et s leurs nombres : a + s = 10 et 10a + 6s = 86. En remplaçant s par 10 − a : 10a + 6(10 − a) = 86, donc 4a = 26 et a = 6,5. Comme les billets sont entiers, les données sont impossibles.
Il faut vérifier
Une erreur tentante consiste à s’arrêter après avoir trouvé une variable en pensant que le problème est fini. C’est compréhensible car le calcul semble terminé, mais un système exige les deux valeurs et les deux équations. Remplace les réponses dans chaque équation de départ : une erreur de signe apparaîtra.
Trouver une répartition cachée
Les systèmes servent à séparer des informations mélangées : un magasin peut déterminer combien d’articles de deux prix ont été vendus, ou un scientifique estimer deux ingrédients d’un mélange. Ils ne sont utiles que si les hypothèses correspondent à la situation. Aucun calcul ne récupère une information absente des mesures.
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