Lineare Gleichungssysteme — Mathematik, 14–17 Jahre
Wie zwei Bedingungen zu einem Wertepaar passen und wie Graphen und Algebra diesen gemeinsamen Punkt finden.
Zwei Bedingungen, eine Lösung
Ein Gleichungssystem besteht aus Gleichungen, die gleichzeitig stimmen müssen. Seine Lösung ist der Wert oder das Wertepaar, das jede Gleichung erfüllt. In einem Schaubild schneiden sich zwei Geraden meist in einem Punkt; dieser Punkt liefert die gemeinsamen x- und y-Werte.
Warum Gleichungen verbinden?
Viele echte Aufgaben enthalten zwei unbekannte Mengen, geben aber zwei Hinweise: zwei Ticketarten, zwei Preise oder zwei Mischungen. Eine einzelne Gleichung lässt viele Möglichkeiten offen. Beide Hinweise zusammen entfernen die falschen Möglichkeiten und finden die Werte, die zur ganzen Situation passen.
Konzertkarten
Bei einem Konzert werden 10 Karten für 86 € verkauft. Eine Erwachsenenkarte kostet 10 €, eine Schülerkarte 6 €. Sei a die Zahl der Erwachsenen- und s die der Schülerkarten: a + s = 10 und 10a + 6s = 86. Setze s = 10 − a ein: 10a + 6(10 − a) = 86, also 4a = 26 und a = 6,5. Da Karten ganz gezählt werden, sind die Angaben unmöglich.
Prüfen ist wichtig
Ein naheliegender Fehler ist, nach dem Finden einer Variablen aufzuhören und die Aufgabe für erledigt zu halten. Das ist verständlich, weil die Rechnung fertig aussehen kann, aber ein System verlangt beide Werte und beide Gleichungen. Setze die Lösung in jede ursprüngliche Gleichung ein; so fällt ein Vorzeichenfehler auf.
Eine verborgene Aufteilung finden
Gleichungssysteme helfen, vermischte Informationen zu trennen: Ein Geschäft kann ermitteln, wie viele Artikel zu zwei Preisen verkauft wurden, oder eine Wissenschaftlerin zwei Bestandteile einer Mischung schätzen. Sie funktionieren nur, wenn die Annahmen zur Situation passen. Keine Rechnung gewinnt Informationen zurück, die in den Messungen fehlten.
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