Fonctions linéaires et pente — Mathématiques, 14–17 ans
Comment un taux de variation constant devient une droite sur un graphique, et comment cette droite aide à prévoir des valeurs.
Ce que montre la pente
Une fonction affine varie toujours de la même quantité lorsque l’entrée augmente d’une unité. Dans y = mx + b, m est la pente : elle indique de combien y monte ou descend, tandis que b donne l’endroit où la droite coupe l’axe des y. Le graphique rend cette variation constante visible.
Pourquoi utiliser une droite ?
De nombreuses situations ont une valeur de départ fixe et un taux constant : une course en taxi, un forfait téléphonique ou une distance parcourue à vitesse constante. Le modèle de la droite permet de prévoir des valeurs sans examiner chaque cas. Il permet aussi de comparer les taux grâce aux pentes.
Une course en taxi
Un taxi facture 4 € au départ et 1,80 € par kilomètre. On identifie d’abord b = 4 et m = 1,80 ; la formule est donc C = 1,80d + 4. Pour 7 km, C = 1,80 × 7 + 4 = 12,60 + 4 = 16,60 €. La pente est le prix de chaque kilomètre supplémentaire.
La confusion fréquente
Une erreur fréquente consiste à intervertir la pente et la valeur de départ en écrivant y = bx + m. Cela semble logique puisque les deux lettres sont des nombres qui modifient le graphique. Vérifie plutôt leur sens : la valeur pour x = 0 est l’ordonnée à l’origine ; la variation entre deux pas égaux est la pente.
Lire des taux réels
Les modèles linéaires apparaissent lorsqu’une quantité varie à un taux presque constant, comme le carburant consommé à vitesse fixe ou l’argent gagné par heure. Ils donnent une première estimation utile, mais tout processus n’est pas linéaire : les intérêts, la croissance d’une population et le refroidissement changent souvent de taux.
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