Lineare Funktionen und Steigung — Mathematik, 14–17 Jahre
Wie eine konstante Änderungsrate zu einer Geraden im Koordinatensystem wird und wie man damit Werte vorhersagt.
Was die Steigung zeigt
Eine lineare Funktion verändert sich immer um denselben Betrag, wenn der Eingabewert um eins steigt. In y = mx + b ist m die Steigung: Sie zeigt, wie stark y steigt oder fällt, während b den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Im Schaubild wird diese konstante Änderung sichtbar.
Warum eine Gerade verwenden?
Viele Situationen haben einen festen Anfangswert und eine gleichbleibende Rate: ein Taxipreis, ein Mobilfunktarif oder eine Strecke bei konstanter Geschwindigkeit. Das Geradenmodell ermöglicht Vorhersagen, ohne jeden Fall aufzuschreiben. Durch die Steigungen lassen sich Raten vergleichen.
Ein Taxipreis
Ein Taxi verlangt 4 € Grundgebühr und 1,80 € pro Kilometer. Zuerst erkennt man b = 4 und m = 1,80; daher lautet die Regel C = 1,80d + 4. Für 7 km gilt C = 1,80 × 7 + 4 = 12,60 + 4 = 16,60 €. Die Steigung ist der Preis je zusätzlichem Kilometer.
Die häufige Verwechslung
Ein häufiger Fehler ist, Steigung und Anfangswert zu vertauschen und y = bx + m zu schreiben. Das wirkt plausibel, weil beide Buchstaben Zahlen sind und beide den Graphen verändern. Prüfe stattdessen die Bedeutung: Der Wert bei x = 0 ist der Achsenabschnitt; die Änderung bei gleichen Schritten ist die Steigung.
Echte Raten lesen
Lineare Modelle passen, wenn sich eine Größe ungefähr gleichmäßig verändert, etwa der Kraftstoffverbrauch bei gleichbleibender Geschwindigkeit oder der Stundenlohn. Sie liefern eine erste Schätzung, aber nicht jeder Vorgang ist linear: Zinsen, Bevölkerungswachstum und Abkühlung ändern oft ihre Rate.
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