O integral definido — Matemática, 14–17 anos
Uma forma de somar infinitas contribuições muito pequenas, encontrando muitas vezes a área sob uma curva ou uma mudança total acumulada.
Somar fatias muito pequenas
Um integral definido soma quantidades distribuídas continuamente ao longo de um intervalo. Para uma área, imagina a região sob uma curva cortada em tiras verticais muito finas, calcula a área de cada tira e soma-as. À medida que as tiras ficam mais finas, a estimativa aproxima-se de um total exato.
O problema das taxas variáveis
A multiplicação comum encontra um total quando todas as pequenas partes são iguais, como distância = velocidade constante × tempo. Mas uma velocidade variável, um terreno irregular ou um caudal variável não têm um único valor para multiplicar. A integração foi desenvolvida para encontrar o efeito total de uma quantidade cuja taxa muda com o lugar ou com o tempo.
Área sob y = x²
Encontra a área sob y = x² entre x = 0 e x = 2. Uma primitiva é x³/3, por isso calcula-se nos extremos: 2³/3 − 0³/3 = 8/3. Assim, a área é 8/3 unidades quadradas, aproximadamente 2,67. A notação do integral regista esta acumulação sem desenhar cada tira minúscula.
A área nem sempre é positiva
Um erro comum é chamar área geométrica a qualquer integral definido. O integral conta positivamente as regiões acima do eixo horizontal e negativamente as que ficam abaixo, porque mede uma acumulação com sinal. Para obter a área geométrica total, divide nos pontos de interseção e usa valores positivos em cada região.
Totais a partir de quantidades variáveis
A integração aparece quando um total se constrói a partir de uma taxa variável: distância a partir de velocidade variável, massa a partir de densidade variável, água recolhida a partir de um caudal variável ou energia a partir de potência variável. Também estima áreas e volumes em ciência e engenharia. O método só é adequado quando a quantidade varia continuamente ou pode ser modelada assim.
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