Das bestimmte Integral — Mathematik, 14–17 Jahre
Eine Methode, unendlich viele winzige Beiträge zu addieren, etwa für die Fläche unter einer Kurve oder eine insgesamt angesammelte Änderung.
Winzige Streifen addieren
Ein bestimmtes Integral addiert Größen, die kontinuierlich über ein Intervall verteilt sind. Für eine Fläche kann man den Bereich unter einer Kurve in sehr dünne senkrechte Streifen teilen und ihre Flächen addieren. Je dünner die Streifen, desto näher kommt die Schätzung an den exakten Gesamtwert.
Das Problem veränderlicher Raten
Eine gewöhnliche Multiplikation liefert ein Gesamtmaß, wenn alle kleinen Teile gleich sind, etwa Strecke = konstante Geschwindigkeit × Zeit. Bei wechselnder Geschwindigkeit, unebenem Gelände oder veränderlichem Durchfluss gibt es keinen einzigen Wert zum Multiplizieren. Die Integration findet die Gesamtwirkung einer Größe, deren Rate sich mit Ort oder Zeit ändert.
Fläche unter y = x²
Bestimme die Fläche unter y = x² von x = 0 bis x = 2. Eine Stammfunktion ist x³/3; an den Grenzen ergibt sich 2³/3 − 0³/3 = 8/3. Die Fläche beträgt also 8/3 Flächeneinheiten, ungefähr 2,67. Die Integralnotation beschreibt diese Ansammlung, ohne jeden winzigen Streifen zu zeichnen.
Fläche ist nicht immer positiv
Ein häufiger Fehler ist, jedes bestimmte Integral als gewöhnliche geometrische Fläche zu verstehen. Bereiche oberhalb der waagerechten Achse zählen positiv, darunterliegende negativ, weil das Integral eine vorzeichenbehaftete Ansammlung misst. Für die gesamte geometrische Fläche teilt man an den Schnittpunkten und nimmt jeden Teil positiv.
Gesamtwerte aus veränderlichen Größen
Integration wird verwendet, wenn ein Gesamtwert aus einer veränderlichen Rate entsteht: Strecke aus wechselnder Geschwindigkeit, Masse aus veränderlicher Dichte, gesammeltes Wasser aus wechselndem Durchfluss oder Energie aus wechselnder Leistung. Sie schätzt auch Flächen und Volumen in Wissenschaft und Technik. Sie passt nur, wenn die Größe sich kontinuierlich verändert oder so modelliert werden kann.
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