La integral definida — Matemáticas, 14–17 años
Una forma de sumar infinitas contribuciones diminutas, a menudo para hallar el área bajo una curva o un cambio total acumulado.
Sumar rebanadas diminutas
Una integral definida suma cantidades distribuidas continuamente a lo largo de un intervalo. Para hallar un área, imagina la región bajo una curva dividida en tiras verticales muy finas, calcula el área de cada una y súmalas. Cuanto más finas son las tiras, más se acerca la estimación a un total exacto.
El problema de las tasas variables
La multiplicación normal halla un total cuando todas las partes pequeñas son iguales, como distancia = velocidad constante × tiempo. Pero una velocidad variable, un terreno irregular o un flujo cambiante no tienen un único valor que multiplicar. La integración se desarrolló para hallar el efecto total de una cantidad cuya tasa cambia con el lugar o con el tiempo.
Área bajo y = x²
Halla el área bajo y = x² entre x = 0 y x = 2. Una primitiva es x³/3, así que se evalúa en los extremos: 2³/3 − 0³/3 = 8/3. Por tanto, el área es 8/3 unidades cuadradas, aproximadamente 2,67. La notación de integral registra esta acumulación sin dibujar cada tira diminuta.
El área no siempre es positiva
Un error común es llamar área geométrica a toda integral definida. La integral cuenta positivamente las regiones sobre el eje horizontal y negativamente las que quedan debajo, porque mide una acumulación con signo. Para obtener el área geométrica total, divide en los puntos de cruce y usa valores positivos en cada región.
Totales a partir de cantidades variables
La integración aparece cuando un total se construye a partir de una tasa variable: distancia a partir de velocidad cambiante, masa a partir de densidad variable, agua recogida a partir de un flujo cambiante o energía a partir de potencia variable. También estima áreas y volúmenes en ciencia e ingeniería. Solo es adecuada cuando la cantidad varía continuamente o puede modelarse así.
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