Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck — Mathematik, 14–17 Jahre
Wie ein Winkel die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks verbindet und so nicht direkt messbare Entfernungen und Höhen berechnen lässt.
Drei nützliche Verhältnisse
In einem rechtwinkligen Dreieck legt ein Winkel die Verhältnisse der Seiten fest. Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, der Kosinus Ankathete durch Hypotenuse und der Tangens Gegenkathete durch Ankathete. Diese Verhältnisse hängen vom gewählten Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks.
Warum einen Winkel messen?
Manchmal kann man eine Höhe oder Entfernung nicht mit einem Lineal erreichen: Ein Baum, ein Dach oder ein Fluss können zu groß oder gefährlich sein. Wenn man eine Strecke und einen Winkel misst, liefert die Trigonometrie die fehlende Seite. Sie löst das Problem mit einem rechtwinkligen Dreieck, auch wenn die echte Szene viel größer ist.
Die Höhe eines Baums bestimmen
Stelle dich 20 m von einem Baum entfernt auf und miss einen Höhenwinkel von 35° bis zur Spitze. Die Gegenkathete ist die Höhe h, die Ankathete ist 20 m lang; daher gilt tan 35° = h/20. Also h = 20 × tan 35° ≈ 20 × 0,700 = 14,0 m. Addiere deine Augenhöhe, wenn der Winkel auf Augenhöhe begann.
Das Verhältnis wählen
Die wichtigste Falle ist, Sinus, Kosinus oder Tangens auswendig zu wählen, ohne zuerst die Seiten zu benennen. Das ist verständlich, weil die drei Formeln ähnlich aussehen. Markiere Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse zum gegebenen Winkel und wähle dann das Verhältnis mit der bekannten und der gesuchten Seite.
Messen ohne Berühren
Vermessungsingenieure nutzen Trigonometrie zum Kartieren, Ingenieurinnen zum Planen von Dächern und Rampen, und in der Navigation helfen Winkel bei der Positionsbestimmung. Die Methode funktioniert, wenn die Geometrie klar und die Messung zuverlässig ist. Kleine Winkelfehler können besonders über große Entfernungen größere Distanzfehler erzeugen.
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