Les matrices comme transformations — Mathématiques, 14–17 ans
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres qui peut agir de manière contrôlée sur des données, des points ou des figures.
Une machine qui change les coordonnées
Imagine une matrice comme une règle écrite dans une grille. Lorsqu’elle reçoit une colonne de coordonnées, elle produit de nouvelles coordonnées : une figure peut s’étirer, tourner, se réfléchir ou se cisailler. Les nombres ne forment pas seulement un tableau ; leur position indique comment combiner les entrées.
Pourquoi organiser les nombres ainsi ?
Transformer de nombreuses coordonnées une par une est lent et favorise les erreurs répétées. Une matrice rassemble toutes les multiplications et additions dans un seul objet, pour appliquer la même opération à des milliers de points ou de données. La multiplication des matrices combine ensuite plusieurs transformations en un calcul.
Étirer un point
Applique la matrice [[2,0],[0,3]] au point (4,5). Multiplie la première ligne par la colonne : 2×4 + 0×5 = 8. Multiplie la deuxième ligne : 0×4 + 3×5 = 15. Le point devient (8,15) : les distances horizontales doublent et les verticales triplent.
L’ordre compte
Une erreur compréhensible consiste à multiplier les matrices comme si chaque nombre correspondait simplement à celui placé à côté. Dans ce produit, les lignes rencontrent les colonnes et les dimensions intérieures doivent coïncider. L’ordre compte aussi : étirer puis tourner une figure ne donne pas forcément le même résultat que tourner puis l’étirer.
Images, jeux et données
L’infographie utilise des matrices pour déplacer, tourner et redimensionner des objets dans les jeux, l’animation et la conception 3D. Les filtres d’image traitent aussi des groupes de pixels comme des tableaux, et les spécialistes des données organisent ainsi des mesures nombreuses. Une même règle peut donc contrôler une image ou traiter un grand ensemble de données.
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