Primfaktorzerlegung — Mathematik, 11–13 Jahre
Bei der Primfaktorzerlegung wird eine ganze Zahl in die Primzahlen zerlegt, deren Produkt sie ergibt. So erhält jede Zahl eine Art Fingerabdruck, der beim Vergleichen, Vereinfachen und Ordnen hilft.
Die Bausteine einer Zahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst. Bei der Primfaktorzerlegung wird eine andere ganze Zahl als Produkt von Primzahlen geschrieben, zum Beispiel 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Die Reihenfolge ist egal, weil man die Faktoren vertauschen darf.
Warum Zahlen zerlegen?
Große Zahlen können verbergen, wie sie zusammenhängen. Die Zerlegung in Primzahlen zeigt gemeinsame Bausteine; so lassen sich gemeinsame Faktoren erkennen und Rechnungen ohne Raten vereinfachen. Mathematiker entwickelten diese Sichtweise, weil sich Produkte oft leichter vergleichen lassen als große Gesamtsummen.
84 zerlegen
Beginne mit 84, einer geraden Zahl, und teile durch 2: 84 = 2 × 42. Teile 42 noch einmal durch 2: 42 = 2 × 21. Dann ist 21 = 3 × 7, und 3 und 7 sind Primzahlen. Zusammengesetzt ergibt das: 84 = 2 × 2 × 3 × 7.
Zu früh aufhören
Ein häufiger Fehler ist, nach Faktoren wie 84 = 4 × 21 aufzuhören. Die Gleichung stimmt, daher ist der Fehler verständlich, aber 4 und 21 sind keine Primzahlen. Zerlege jeden Faktor weiter, bis jeder nur 1 und sich selbst als Teiler hat.
Wofür es nützlich ist
Primfaktoren helfen Programmen, sichere Codes zu erzeugen: Primzahlen zu multiplizieren ist schnell, aber die Faktoren einer riesigen Zahl zurückzugewinnen, ist schwierig. Sie helfen auch, Dinge in gleich große Gruppen zu teilen oder einen Bruch zu kürzen. In beiden Fällen zeigen sie, welche Teilungen möglich sind.
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