La dérivée — Mathématiques, 14–17 ans

Une manière de mesurer la vitesse de changement d’une grandeur à un instant précis. Mathématiques, 14–17 ans.

L’idée

La dérivée indique la pente d’un graphique en un point, et non sur tout un intervalle. Sur un graphique distance-temps, elle donne la vitesse instantanée. On la trouve en observant des variations moyennes sur des intervalles de plus en plus petits, jusqu’à faire apparaître la tendance locale.

Pourquoi elle était nécessaire

La vitesse moyenne peut cacher ce qui se passe entre deux instants : un trajet peut comprendre des arrêts, des accélérations et des ralentissements. Les scientifiques et les ingénieurs avaient besoin d’un langage précis pour le changement à un instant, comme le mouvement d’une planète ou la température d’une machine. Le calcul est né de ce problème du changement local.

Un exemple résolu

Soit s(t) = t² mètres la distance, avec t en secondes. Sa dérivée est s'(t) = 2t. À t = 3, la vitesse instantanée vaut s'(3) = 2 × 3 = 6 mètres par seconde. La vitesse moyenne entre 2 et 3 secondes est 5 m/s : les deux idées ne sont donc pas identiques.

L’erreur fréquente

Il est raisonnable de penser que la dérivée de t² est t, puisque le carré semble disparaître en simplifiant. Mais la règle fait aussi descendre l’exposant : la dérivée de t² est 2t. Le facteur 2 compte, car il double le taux prévu à tout instant positif.

Où elle apparaît

Les dérivées aident à trouver le bénéfice maximal, la forme la plus sûre d’un pont ou la vitesse à laquelle un médicament quitte le corps. Elles servent aussi à piloter des avions, modéliser le climat et entraîner des algorithmes d’apprentissage automatique. Le résultat n’a de sens que si le modèle et ses unités décrivent bien la situation réelle.

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